La Geometría Sagrada 

1.- ¿Por que una Geometría Sagrada?

Esta pregunta puede parecer muy apropiada en un ámbito cotidiano. ¿Qué puede tener de sagrado la geometría?

Efectivamente todos hemos aprendido que la geometría, en términos básicos, es una rama de las matemáticas que estudia la lógica de las formas en el espacio, ya sea bidimensional o tridimensional. Es decir, trabaja y explica problemas concretos de la forma. En la vida práctica la geometría presta una gran utilidad para medir las tierras y para poder analizar y comprender las obras concretas que realiza el ser humano (puentes, acueductos, edificios, etc.).

Por otro lado el término sagrado nos sugiere una dimensión espiritual o moral que se inserta en la evolución del ser humano, con una proyección trascendente. Es decir, como lo contrario a lo profano y al rol cotidiano y práctico de nuestras vidas.

A primera vista la geometría, en su dimensión arquetípica, nos parece que tiene más que ver con el mundo práctico y cotidiano, porque es ahí donde presta su real utilidad. Entonces, ¿cómo es que podemos instalarla en una dimensión espiritual y trascendente?

De modo de poder sumergirnos en esta disciplina, es necesario comprender que vamos a trabajar con nuestra dimensión racional al mismo tiempo que lo hacemos con aquella espiritual y con nuestra intuición. Es decir, estaremos alternando entre nuestro hemisferio izquierdo y el derecho.

La Geometría Sagrada es un conocimiento que se remonta a los inicios de los tiempos, viene de épocas ancestrales, y es probable que no se puedan encontrar sus orígenes, aun cuando se pueden registrar rastros de ésta en diversas civilizaciones, como la Egipcia, la Maya, la Hindú, las comunidades Neolíticas, por mencionar sólo algunas. Las preguntas que surgen son:

• ¿Qué buscaban aquellos que dejaron las huellas que nos permiten identificar una Geometría Sagrada?
• ¿Cómo y de quién o de quiénes recibieron este conocimiento?

Ha habido muchos estudiosos que se han hecho estas preguntas y que han logrado estructurar un campo de conocimiento y experimentación que ha permanecido oculto por mucho tiempo. Desde Platón, pasando por Fra Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Leonardo de Pisa, Matila C. Ghyka, hasta los actuales físicos cuánticos y estudiosos espiritualistas como Drunvalo Melchizedek o artistas como Charles Gilchrist, el artista, matemático y geómetra George W. Hart y muchos otros que nos han permitido ir descubriendo y develando el misterio que hay detrás de la Geometría Sagrada.

La enseñanza que nos han dejado nos permite comprender que la Geometría Sagrada es un conocimiento que contiene el patrón de crecimiento, evolución, expansión y desarrollo de todo lo manifestado, lo que, de alguna manera, nos revela los orígenes del tejido del universo. Como patrón de crecimiento, podemos decir que se trata de una forma abstracta de razonamiento y como tal se puede aplicar no solo a procedimientos y fenómenos concretos, naturales y empíricos, sino que también a realidades conceptuales, abstractas e incluso espirituales.

En este contexto no se puede dejar de mencionar la estrecha relación que existe entre lo sagrado de la geometría con lo sagrado de los números. Esta se manifiesta a través de las series numéricas y las relaciones y razones numéricas existentes en las proporciones de las partes componentes de las entidades geométricas, las cuales expondremos más adelante. Podríamos decir que la geometría traza el despliegue de los números en el espacio, realizando un viaje o un camino desde el simple punto, pasando por la línea y llegando al plano, para luego entrar a la tercera dimensión y eventualmente trascenderla, para luego retornar al punto nuevamente. En otras palabras se trata de una disciplina que incursiona en las leyes de ordenación del universo y de la huella digital de la creación. A través de proporciones, patrones, sistemas, códigos y símbolos, establece las bases tanto de la creación natural (el universo, la materia, los organismos vivos y su ADN) como de las re-creaciones humanas: el arte, la arquitectura, el diseño, la ciencia, la física, la música, la cábala, las matemáticas, etc. A través de estas últimas, el hombre hace de creador e intenta acceder a niveles superiores de consciencia, entendimiento, conocimiento o sensibilidad que lo conecten en forma creciente con la vastedad que lo rodea. Y esto lo logra cuando basa su creación – consciente o inconscientemente - en la Geometría Sagrada, obteniendo así lo que G.I. Gurdjieff llamaba ‘arte objetivo’:

“El arte oriental es preciso, matemático, sin manipulaciones. Es una forma de escritura… Por ejemplo, tomemos la arquitectura. He visto algunos ejemplos de arquitectura en Persia y Turquía; por ejemplo, un edificio de dos habitaciones. Todo aquel que entraba a estas habitaciones, ya fuera viejo o joven, inglés o persa, lloraba… El resultado era siempre el mismo. Con estas combinaciones arquitectónicas, las vibraciones calculadas matemáticamente contenidas en el edificio no podían producir otro efecto. Estamos bajo ciertas leyes y no podemos resistir las influencias externas. Como el arquitecto de este edificio tenía una comprensión diferente y construyó matemáticamente, el resultado era siempre el mismo. Hicimos otro experimento. Afinamos nuestros instrumentos musicales de un modo especial y combinamos los sonidos de tal manera que aún trayendo a los transeúntes casuales de la calle obtuvimos el resultado que queríamos. La única diferencia era que uno sentía más, otro menos. Supongamos que llega a un monasterio; usted no es un hombre religioso, pero lo que tocan y cantan allí evoca en usted el deseo de orar…. Y así sucede con todos. Este arte objetivo está basado en leyes...”

(Extractado de “Perspectivas desde el Mundo Real”, Ed. Hachette, Argentina, 1977, págs. 164-165).

Como verán, se trata de incursionar en un recorrido donde los números se despliegan desde un espacio bidimensional en una superficie plana y luego en un espacio tridimensional. Este proceso ha generado un lenguaje universal cuya carga simbólica trasciende fronteras y épocas en el tiempo, y que es el vínculo axiomático sine qua non para una correspondencia entre lo grande y lo pequeño, entre arriba y abajo, según la Ley de Analogía. Este recorrido es el camino de toda realidad manifestada desde su punto inicial de creación hasta su retorno al origen.

“Los practicantes de la geomancia se interesan en la Geometría Sagrada porque es el estudio de la manera en que el espíritu se integra a la materia, a través de amplificar y resonar la geometría de la naturaleza y los movimientos planetarios, logramos alinear la resonancia del cuerpo/mente/espíritu con la frecuencia armónica de lo superior y lo inferior.

También están interesados en la Geometría Sagrada porque se ha descubierto que ciertos espacios con proporciones especiales, permiten al individuo vibrar en una frecuencia apropiada que le permite maximizar la posibilidad de conexión con el Unico.”

(Extractado del artículo “Why Sacred Geometry” from Mid – Atlantic Geomancy.)
www.bibliotecapleyades.net/geometria-sagrada

2.- El origen y el Génesis.

2.1.- El vacío.
Antes de comenzar con el primer elemento manifestado, intentaremos imaginar el espacio vacio (fig. 1) en el cual aun no existe nada y se constituye como el principio de la creación. Es aquel espacio infinito y plenipotencial en el cual se penetra en la meditación cuando logramos acallar la mente y entramos en el vacío, que es como estar flotando en ninguna parte y que sólo es invadido por una luz blanquecina.



Fig. 1 El vacío

2.2.- El punto
En este espacio aparece un simple punto (fig. 2) que será nuestro primer arquetipo que conforma la primera dimensión. Este representa la consciencia de unidad, la mente divina e indivisible. Es donde comenzamos nuestro camino, desde donde iniciaremos nuestra misión para luego retornar al punto que es la raíz absoluta del concepto mental y el que, del mismo modo, es la raiz del pensamiento holístico. Para nosotros es el punto de síntesis que brota del tercer ojo en la glándula hipófisis en el cerebro.



Fig. 2 El punto

2.3.- Los dos puntos.
Del universo unidimensional pasamos al bidimensional donde la unidad se transforma en dualidad. Ocurre este gran milagro y misterio donde el punto aislado se divide y se transforma en dos puntos que dan paso a la segunda dimensión (fig. 3). A partir de esta instancia nos vemos enfrentados a la primera dualidad que genera un espacio medible. Aparece una relación espacial dentro de la cual podemos habitar y desplazarnos.



Fig. 3 Dos puntos

2.4.- El radio y el arco.
Desde el momento que podemos desplazarnos, damos origen a una línea. Es el movimiento entre el primer y segundo punto, es decir la línea recta entre los puntos A y B. Este primer movimiento que se traslada entre estos dos puntos da origen al radio (Fig 4), el cual representa el arquetipo masculino. A continuación se manifiesta un movimiento de rotación donde el punto B gira en torno al punto A configurando el arco (fig. 5), que representa el arquetipo femenino. Es el origen de la dualidad radio/arco de la cual se genera todo camino posterior. Con propiedad podemos llamarlo el movimiento raiz.
A partir de éste se despliega todo el concepto de dualidad:
• Ying y Yang
• Luz y oscuridad
• Izquierda y derecha
• Arriba y abajo
• Adelante y atrás
• Madre y padre
• Etc.
El juego radio/arco etablece todas las energías del universo.



Fig. 4 El radio




Fig. 5 El arco

2.5.- El circulo.
El arco continuará girando a partir del punto B en torno al punto A hasta volver a retornar al punto B desde donde comenzó a girar. Este movimiento da origen a la primera forma cerrada de la Geometría Sagrada. El círculo es una manifestación bidimensional de la Mente Divina e indivisible. Además representa un movimiento y un tiempo que se manifiesta como el primer ciclo cerrado o la primera forma cerrada de la Geometría Sagrada. Es como el ciclo inicial que expresa el Génesis.

Esta relación de desplazamiento en el tiempo del radio/arco se ha expresado en términos matemáticos como Phi, que es la proporción de la circunferencia del círculo con su diametro. Se trata de un número trascendental o irracional (se verán los números irracionales más adelante), con un valor de 3,14159265. Para propósitos prácticos Phi = 3,1416.

Los números trascendentes son irracionales, pero no todo irracional es trascendente (por ejemplo raíz de 2). Es decir, trascendente implica irracional pero no al revés. El número Phi no sólo es irracional (no es igual a ninguna fracción o cociente de dos enteros) sino que además trascendente. No es algebraico, es decir no es solución de ninguna ecuación algebraica (=polinominal).



Fig. 6 El círculo

2.6.- El rayo y las seis direcciones.
Nuestra consciencia situada en el centro del espacio puede proyectarse en seis direcciones y por tanto seis rayos. Adelante y atrás, izquierda y derecha y arriba y bajo. Esto lo tenemos que visualizar en el espacio tridimensional (fig. 7). Cabe considerar que para los budistas estas direcciones del espacio pasan a ser diez.

Luego podemos trasladar esta imagen tridimensional a una de dos dimensiones o plana, logrando que estos seis rayos giren y completen el círculo (fig. 8), y a su vez den origen a seis puntos B sobre la circunferencia del círculo. Estos a su vez dan origen a los ejes del patrón de crecimiento de la creación.

Es así como la línea recta o el rayo (arquetipo masculino) en conjunto con la línea curva o arco (arquetipo femenino), dan origen al primer ciclo completo o Génesis que es simbolizado por el primer círculo (bidimensional) o esfera (tridimensional)




Fig. 7 Seis direcciones en el espacio



Fig. 8 Seis direcciones en el plano

2.7.- Primer movimiento. Dos círculos de radio común.
A partir de este círculo (o esfera), se insinúa el primer movimiento, que no hace otra cosa que duplicar esta figura arquetípica, dando origen al primer día después del Génesis. Este segundo círculo se desplaza haciendo centro donde el rayo intercepta el primer círculo originario (punto B).
Esta es la primera forma traslapada de la Geometría Sagrada, llamada “dos círculos con radio común” (fig.9).



Fig. 9 El primer día del Génesis. Dos círculos con radio común.




Fig. 10 Vesica Piscis.

2.8.- La Vesica Piscis.
Este primer movimiento o día del Génesis da origen a la segunda forma cerrada de la Geometría Sagrada: La Vesica Piscis, también conocida como “la vejiga del pez” o “mandorla” (fig. 10). Esta forma es como el útero o matriz del universo. A partir de ella se crean todas las formas que se desarrollan en el espacio.

A partir de esta imagen nacen dos nuevos puntos, el C y el D, los cuales se han concebido como los hijos mellizos de A y B.Esta figura también hay que imaginarla en tres dimensiones, en donde las dos esferas dan origen a esta nueva figura tridimensional que es como una pelota de rugby o zeppelín.

Por lo tanto podemos decir que este primer movimiento del Génesis da origen al patrón de la vida y de la luz, y por tanto a partir de este momento nuestros ojos pueden ver la creación.

2.9.- El segundo movimiento.
El segundo movimiento da origen a un tercer círculo o tercera esfera que representa el segundo día (fig. 11) después del Génesis. La relación de estas tres esferas o círculos dan origen a la estrella tetraédrica (fig. 12).



Fig. 11 El segundo día del Génesis.




Fig. 12 Estrella tetraédrica.

2.10.- El tercer movimiento.
Este da origen al cuarto círculo o esfera que representa el tercer día del Génesis (fig. 13). Si se observan detenidamente veremos que estos cuatro círculos contienen cinco Vesica Piscis y un pétalo central, el cual constituye otra de las figuras contenidas de la Geometría Sagrada (fig. 14).

Estos cuatro círculos son muy simbólicos ya que representan la esencia de la familia en el lenguaje de la Geometría Sagrada. Los círculos 1 y 2 son los padres, los 3 y 4 los hijos, y el corazón de la familia se nos presenta en forma de pétalo.




Fig 13. Tercer día del Génesis. Cuatro círculos y el pétalo central.




Fig. 14 Cinco Vesica Piscis y el pétalo central.

2.11.- El cuarto, quinto y sexto movimiento.
Dan origen, respectivamente al quinto, sexto y séptimo círculos o esferas, que a su vez simbolizan el cuarto, el quinto y el sexto día del Génesis (figs. 15, 16 y 17).








Fig. 15, 16 y 17: Cuarto, Quinto y Sexto día después del Génesis

3.- La Semilla de la Vida.
De esta forma, al completar el séptimo círculo, se completa el patrón del Génesis y el principio de la creación del universo. Es así como se da origen a lo que se conoce como La Semilla de la Vida (fig. 18); y a partir de esta se concibe el Tubo Toro (llamado simplemente Toro por los matemáticos) o Toroide (fig. 19). Esta es una figura tridimensional que es el resultado de rotar el patrón del Génesis en 360 grados alrededor del centro. Es una esfera que se curva hacia sí misma por arriba o por abajo. Se le suele comparar con una rosquilla, con el anillo de humo de un cigarro o con un neumático o un salvavidas. Pero al mismo tiempo se puede concebir con un orificio central infinitamente pequeño hacia el cual rotan los círculos componentes, como si fuera un toroide más cerrado (fig. 20).



Fig. 18 La semilla de la vida



Fig. 19 Toroide o Tubo Toro



Fig. 20 Toroide cerrado.


4.- El huevo de la vida.
A continuación de la semilla de la vida y patrón del Génesis, se produce una segunda rotación hacia el exterior de los seis círculos de esta. Esto se logra haciendo centro en los respectivos cruces de los seis círculos y trazando los próximos seis círculos del mismo tamaño que los anteriores (fig. 21). Luego se borran los primeros seis círculos y se obtiene la silueta del huevo de la vida (fig. 22).



Fig. 21 Construcción del huevo de la vida




Fig. 22 Silueta del huevo de la vida
El huevo de la vida da forma al embrión de la vida humana (a partir de la mórula inicial) y a la morfogenética del cuerpo. El cómo la existencia física de nuestros cuerpos se origina en el huevo de la vida es materia de un nuevo estudio. En todo caso su carácter embrionario y su forma circular se manifiesta como una cualidad de la geometría femenina, la cual revela las primeras formas geométricas masculinas de carácter angular y en base a tramos rectos. Estas son el cubo, el tetraedro y la estrella tetraédrica (fig. 23).







Fig. 23 Cubo, Tetraedro, Estrella tetraédrica

5.- La Flor de la Vida.
Si observamos la construcción del huevo de la vida (fig. 21) , veremos que hay seis puntos donde se cruzan tres círculos. Si hacemos centro en cada uno de ellos y trazamos sus respectivas circunferencias en el mismo tamaño que las anteriores, obtendremos una tercera rotación (fig. 24).



Fig. 24 Tercera rotación



Fig. 25 Siete círculos tangentes
Esta tercera rotación permite la construcción de la Flor de la Vida. Son seis círculos azules, seis verdes y seis rojos, más el verde central, que hacen un total de 19 círculos. Es muy importante observar que los seis círculos exteriores azules tocan tangencialmente al círculo verde central. Podemos reproducir esta figura si colocamos siete monedas iguales sobre una mesa (fig. 25).

Estos diecinueve círculos conforman una figura de una gran importancia en la Geometría Sagrada y ha estado presente en las más variadas civilizaciones desde tiempos inmemoriales. Siempre los diecinueve círculos, los cuales fueron rodeados por dos círculos mayores, son los que dieron forma a la Flor de la Vida (fig. 26). A esta altura nos damos cuenta que este patrón podría seguir hasta el infinito, sin embargo se detiene aquí.



Fig. 26 La Flor de la Vida

6.- El Fruto de la Vida.
Al observar este patrón vemos que en el perímetro externo de la figura se insinúan muchos círculos que están incompletos. Si nos aventuramos a completarlos y seguir con este patrón tendremos una cuarta rotación que nos permite continuar con los círculos tangentes hasta llegar a tener trece (fig. 27). Al aislarlos como si colocaramos, igual que lo hicimos antes, monedas del mismo tamaño en forma tangente sobre la mesa, tendremos el Fruto de la Vida (fig.28).



Fig. 27 Trece círculos tangentes.



Fig. 28 El Fruto de la Vida.

7.- El cubo Metatrón.
Hasta el momento hemos incursionado principalmente en un patrón femenino, en el cual se ha desplegado una gran cantidad de círculos, los cuales han arribado como una suerte de síntesis, al patrón llamado el Fruto de la Vida, conformado por trece círculos tangentes. Este patrón, en conjunto con el Huevo de la Vida y el Tubo Toro o Toroide conforman los tres patrones fundamentales de la existencia.

A estos patrones concebidos por círculos femeninos, se sobreponen líneas rectas masculinas: los sistemas informacionales de la creación.

Así como ocurriera con el Huevo de la Vida, el cual permitió la formación de algunas formas masculinas a partir del punto central de sus círculos, el Fruto de la Vida da origen, al unir los puntos centrales de sus círculos, al Cubo Metatrón, que es la contraparte masculina del Fruto de la Vida, utilizando la energía masculina de las líneas rectas que unen dichos centros, y es uno de los sistemas informativos esenciales de la creación. La correcta construcción del Cubo Metratón se logra trazando un círculo cuyo centro está en el centro del círculo central y su radio coincide con los centros de los círculos exteriores del fruto de la vida (círculo azul). Luego se traza un segundo círculo (verde) con el mismo centro que el azul pero con un radio que es igual al radio del círculo azul multiplicado por Phi de valor 0,6180339 (fig. 29).

Luego se traza una estrella tetraédrica haciendo crecer la interior hasta que sus vértices hagan contacto con el circulo interior (verde). Estos puntos indican el trazado que permitirá trazar correctamente el Cubo Metatrón completo, de modo de poder trazar las coordenadas que permiten construir la totalidad de los sólidos Platónicos, especialmente el dodecaedro y el icosaedro, como se expone en el punto. 8 Los sólidos Platónicos a continuación (fig. 30).



Fig. 29 Círculos para la construcción del Cubo Metatrón.



Fig. 30 Cubo Metatrón completo.
Este cubo debe su nombre al ángel Metatrón, el cual también es conocido como el primero y el último de los Arcángeles, y recibe diversas denominaciones como Canciller del Cielo, Ángel de la Alianza y Rey de los Ángeles. Su función celestial es la de supervisar la anotación de todos nuestros actos en el Libro de la Vida.

8.- Los sólidos Platónicos.
Los sólidos Platónicos son cinco estructuras espaciales que conforman volúmenes tridimensionales en los cuales todas sus caras son de la misma forma y del mismo tamaño y cuyos bordes o aristas tienen la misma longitud. Además todos los ángulos interiores son también del mismo tamaño. Por último, si inscribimos cada sólido Platónico en una esfera apropiada, todas las puntas tocarán la superficie de la esfera.

Estos sólidos fueron nominados luego que Platón los describiera en el 350 A.C. en su obra “El Timeo”. Han llegado a ser la base de la estructura de la vida orgánica y de las obras de creación humana. Las podemos encontrar en la vida animal y orgánica, en los minerales, en el sonido, en el lenguaje, en la música, en las artes plásticas, en la arquitectura, en las obras de ingeniería, etc.

Los cinco sólidos Platónicos son:

1. El tetraedro (fig. 31), cuyas caras son cuatro triángulos equiláteros iguales. De este poliedro se desprende la estrella tetraédrica, que no es otra cosa que dos tetraedros invertidos e intersectados (fig. 32).
2. El cubo o hexaedro (fig. 33), que es un poliedro cuyas caras son seis cuadrados iguales.
3. El octaedro (fig. 34), cuyas caras son ocho triángulos equiláteros iguales.
4. El dodecaedro (fig. 35), que es un poliedro de doce caras conformadas por doce pentágonos regulares.
5. El icosaedro (fig. 36), que tiene veinte caras conformadas por veinte triángulos equiláteros iguales.



Fig. 31 Tetraedro



Fig. 32 Estrella tetraédrica



Fig. 33 Cubo o hexaedro



Fig. 34 Octaedro



Fig. 35 Dodecaedro



Fig. 36 Icosaedro
Si observamos con detención cada uno de estos poliedros trazados en el cubo Metatrón veremos que tienen una versión igual pero más pequeña que se inscribe en los siete círculos tangentes interiores que se manifestaron en la tercera rotación (fig. 24 y fig. 25)

 9.- El árbol de la vida.
El Árbol de la Vida es el símbolo geométrico que se expresa como la base de la Cábala, que es el antiguo sistema místico del Judaismo. Cada uno de los vértices simboliza una sephirah, que a su vez representa un atributo de Dios (fig. 37). En esta figura se puede ver la perfecta relación existente entre el Árbol de la Vida y el patrón del Génesis manifestado en la semilla de la vida.

Fig. 37 El Arbol de la Vida

Los Sephiroth del Arbol de la Vida:

1. Kether (Corona)....................6. Tiphereth (Belleza)
2. Binah (Comprensión).............7. Hod (Gloria)
3. Kjokmah (Sabiduría)..............8. Netzach (Victoria)
4. Gueburah (Poder)..................9. Yesod (Fundación)
5. Kjesed (Misericordia).............10. Malkuth (Reino)

10.- La cuadratura del círculo.
Como hemos podido ver, el arco o línea curva representan el arquetipo femenino y el radio o línea recta el masculino. La forma cerrada primaria que construye el arco es el círculo, y en el caso de la línea recta es el cuadrado. Por otro lado el círculo ha sido la forma que se le ha asignado a los cielos y el cuadrado a la tierra. Desde muy antiguo se ha intentado equilibrar o unificar el cielo con la tierra, el espíritu con la materia, lo femenino con lo masculino, etc. En otras palabras, asimilar al máximo el perímetro del cuadrado con el del círculo y su circunferencia. Esto es lo que se conoce como la cuadratura del círculo.

Se trata de construir un cuadrado que tenga el mismo perímetro que un círculo dado. O bien la misma área que un círculo dado. Y resulta que no es posible construirlo usando sólo regla y compás.

Es una tarea que no ha sido fácil y es probable que la respuesta exacta todavía no haya podido encontrarse. La respuesta es que no es posible realizar la construcción con regla y compás, pero por supuesto, existe un cuadrado con la propiedad requerida. Una de las aproximaciones más precisas radica en concebir un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro de la tierra (12.700 klm). Es decir, la tierra queda inscrita en un cuadrado de esta medida. En seguida se traza un círculo haciendo centro en el centro del cuadrado que contiene el círculo de la tierra y cuyo radio es igual a la suma del radio de la tierra (6.350 klm) más el radio de la luna, cuyo diámetro es 3.500 klm aproximadamente (1.750 klm), quedando el radio en cuestión en 8.100 klm (fig. 38)

Tenemos entonces el perímetro del cuadrado A-B-C-D:
12.700 x 4 = 50.800 klms.;
Y el perímetro de la circunferencia de radio R:
2 x Pi (3,1416) = 6,2832 x r (8100) = 50.894
Es decir habría un error de un 1,7 %



Fig. 38 Cuadratura del círculo.
Por otro lado el conocido dibujo de Leonardo da Vinci del hombre Vitruviano, construido en la superposición del círculo y el cuadrado, presenta una aproximación un poco más alejada que la anterior a la buscada cuadratura del círculo (fig. 39).

En este dibujo el cuadrado tiene como lado 7 unidades y el radio del círculo es de 4,2 unidades.

Por lo tanto:
Perimetro del cuadrado = 7U x 4 = 28 U
Perimetro de la circunferencia = 2 x pi (3,1416) = 6,2837 x r (4,2 U) = 26,4
Error = 5,7 %



Fig. 39 Hombre Vitruviano de Leonardo da Vinci.

Una tercera aproximación a la cuadratura del círculo se ha construido partiendo de cuatro círculos tangentes cuya suma de diámetros definen el lado del cuadrado que los contiene. Luego, haciendo centro en el cruce de las diagonales del cuadrado y con un radio que se integra al radio de los círculos interiores se traza un circulo exterior que se aproxima a la cuadratura del círculo pero que tampoco es exacta (fig. 40)



Fig. 40 Cuadratura del círculo sobre cuatro círculos tangentes

Perimetro cuadrado = 5 U x 4 = 20
Perimetro de la circunferencia = 2 x pi (3,1416) = 6,2832 x r ( 3 U) = 18,85
Error= 5,75%

11.- El eneagrama.
El eneagrama es un símbolo sagrado cuyos orígenes se han situado en hermandades Sufis y que fue presentado en Occidente por el maestro G. I. Gurdjieff. Este símbolo es una combinación de la Ley de Tres con la Ley de Siete o de la Octava. Sus significados pueden ser múltiples y su análisis requiere de un estudio aparte. En todo caso podemos mencionar que expresa la ley o patrón de evolución y organización de todos los fenómenos y procesos en los diversos planos de la creación. Si bien en esta ocasión sólo veremos el eneagrama como una imagen de dos dimensiones, es recomendable, al menos, imaginarlo como una esfera tridimensional por la cual circulan energías que transitan los nueve puntos repartidos regularmente en el círculo base. Es decir, se trata de un patrón dinámico.

En esta ocasión su construcción geométrica se ha realizado a partir del patrón llamado el fruto de la vida, partiendo de la extensión de la flor de la vida. Primero se han localizado tres ejes de dirección que dividen el patrón mencionado en tres partes iguales. Luego se han ubicado (en azul) los tres círculos exteriores en los extremos de los ejes (fig. 41).

En segunda instancia se ubican (en verde) los círculos tangentes a los azules y entre ellos, y en los centros de los círculos verdes se localizan los puntos que dividen cada uno de los tres tramos en tres sub tramos, quedando un total de nueve de ellos. Estos seis puntos son los que marcan el recorrido de la Ley de Siete. Luego, haciendo centro en el punto central del patrón, y radio en los centros de los círculos verdes, se traza la circunferencia (en rojo) que contiene el eneagrama (fig. 42)

Por último, en los puntos en que la circunferencia de color rojo corta los tres ejes de la fig. 41 se encuentran los tres vértices del triángulo equilátero, el tetraedro que marca los puntos 3, 6 y 9 que simbolizan la Ley de Tres. Por otro lado los puntos 1, 2, 4, 5, 7, y 8 son los que permiten la construcción de la Ley de Siete, cuyo recorrido sigue el orden de 1, 4, 2, 8, 5, 7 y de vuelta al 1.

Esta secuencia nace de la unidad (1) dividida por el total de etapas (7).
Del mismo modo, pero desfasado, resulta al dividir:
1:7 = 0,1428571
2:7 = 0,2857142
3:7 = 0,4285714
4:7 = 0,5714285
5:7 = 0,7142857
6:7 = 0,8571428



Fig. 41 Eneagrama etapa 1



Fig. 42 Eneagrama etapa 2



Fig 43. Eneagrama sobre el fruto de la vida.

El eneagrama es una figura que generalmente se concibe en dos dimensiones, sin embargo al hacerlo en tres dimensiones nos amplía considerablemente las proyecciones que sobre él tenemos (fig 44). En esta figura cada línea se transforma en un círculo y el triángulo conformado por los puntos 3, 6 y 9 se transforma en una pirámide.




Fig. 44 Eneagrama tridimensional, Espacial y volumétrico.

12.- La proporción y la razón matemática.
No cabe duda de que hay variadas definiciones de belleza y muchas de ellas concuerdan en que la belleza se logra cuando hay armonía en las proporciones. Para comprender el concepto de proporción es recomendable remontarse a los orígenes y recurrir a lo que entendían los griegos por proporción.

Entendían que la proporción es la igualdad entre dos razones, y la razón matemática se definió como el cociente de dos magnitudes homogéneas, entendiendo como cociente el resultado de la división de dos números.

La proporción es algo que encontramos en la naturaleza tanto como en la creación humana. Cuando éstas llegan a una cierta aproximación o equivalencia, es que se puede hablar de una razón matemática que se expresa en una proporción divina, sagrada y de alcances espirituales.Se trata de una proporción que, manifestándose en la naturaleza, es aprehendida y aplicada en obras humanas.

En realidad hay muchas proporciones o razones posibles, es un poco críptico hablar de “la” proporción. En todo caso, aquí proporción se utiliza como sinónimo de“razón”.

“Pero es imposible combinar dos cosas sin una tercera; es preciso que exista entre ellas un vínculo que las una. No hay mejor vínculo que el que hace de sí mismo y de las cosas que une un todo único e idéntico. Ahora bien, tal es la naturaleza de la proporción.”


“La Geometría tiene dos grandes tesoros: uno el Teorema de Pitágoras; el otro es la división de una línea en una proporción extrema y una media”


“LA DIVINA PROPORCIÓN

A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.”


13.- Números racionales, irracionales y trascendentes.
“Números Racionales : Es un número que puede ser expresado como la razón de dos números enteros, como 1/3 o 37/22. Todos los números que, cuando son representados en notación decimal, o bien se detienen luego de un número finito de dígitos o caen en un patrón repetitivo, son números racionales.”

• “Números Irracionales: Un número irracional es aquel que no se puede representar como razón de dos números enteros, y en consecuencia no caen en un patrón repetitivo de ningún tipo cuando se expresan en notación decimal.”

• “Números Trascendentales: Estos son ciertos tipos de números irracionales que se llaman números trascendentales. Al igual que los números irracionales , se definen por lo que no son (no son números racionales), sin embargo los números trascendentales se identifican como tal porque no son otro tipo de números, conocidos como números algebraicos.”

“Un número trascendental requiere de un número infinito de términos para ser definido con exactitud. Es una manera de pensar en Dios. Hay ecuaciones especiales para derivar a los números trascendentales donde los términos son cada vez más pequeños a medida que se avanza, de modo que se pueden ir agregando para alcanzar algún nivel de precisión requerido, pero el verdadero número no se puede lograr con exactitud.Esa es la belleza de los números trascendentales.”

Extractado del artículo “Why Sacred Geometry” from Mid – Atlantic.
www.bibliotecapleyades.net/geometria-sagrada

A lo largo de las más diversas civilizaciones y épocas, obras de variadas dimensiones y de profundo contenido han manifestado proporciones a partir de cinco razones matemáticas. Estas son expresadas en números irracionales, es decir que no pueden expresarse como una fracción y cuyo desarrollo decimal consta de infinitas cifras. Si bien estos números son infinitos (en realidad son números finitos y lo que es infinito es el largo de su desarrollo decimal), su equivalencia geométrica se acota en forma precisa. Podemos encontrarlos en obras que van desde las pagodas japonesas, los templos mayas, Stonehenge, las grandes pirámides egipcias, las catedrales góticas, por nombrar sólo algunas; han utilizado estas razones:

13.1.- Raiz cuadrada de dos y el cuadrado.
A partir de un cuadrado de lado 1, trazamos su diagonal la cual lo divide en dos triángulos rectángulos, lo que nos lleva a recurrir nuevamente a Pitágoras (fig. 45) y su cálculo de la hipotenusa.



Fig. 45 Raiz cuadrada de dos en el cuadrado.

13.2.- Raiz cuadrada de tres. El cuadrado extendido y la Vesica Piscis.
Al abatir el tramo AD de la fig. 45 se extiende el tramo AB de valor 1 al tramo AF de valor raiz cuadrada de dos, igual a 1,41421. Esto nos arroja un rectángulo de lado 1 y 1,41421, por lo tanto dos triángulos rectángulos con catetos de estos valores. Aplicamos Pitágoras para conocer el valor de la hipotenusa (fig. 46).

Luego, si trazamos dos círculos con radio común 1 AB, la intersección de éstos genera una Vesica Piscis cuyo lado menor ( AB) es 1.
El lado mayor ( CD) es igual a la raíz cuadrada de tres.
Al unir los vértices del lado mayor C y D con los vértices del lado menor A y B, se obtienen cuatro triángulos rectángulos, a los que, a través de Pitágoras, les podemos conocer el valor del cateto desconocido CE y ED; sumados éstos, nos dan el lado mayor CD de la Vesica Piscis (fig, 47).



Fig. 46 Raíz cuadrada de tres en rectángulo



Fig. 47 Raíz cuadrada de tres en Vesica Piscis

13.3.- Raiz cuadrada de cinco y el doble cuadrado.
La diagonal del doble cuadrado de lado 1 nos proporciona dos triángulos rectángulos de catetos 2 y 1 respectivamente. Aplicando Pitágoras obtenemos la dimensión de la hipotenusa y diagonal del doble cuadrado, que es raíz cuadrada de 5 (fig. 48).



Fig. 48 Raíz cuadrada de cinco en el doble cuadrado

13.4.- Phi (?) y la relación entre el perímetro de la circunferencia y su diámetro.
Uno de los misterios que más ha intrigado a la humanidad se relaciona con el círculo, aquella figura geométrica perfecta que representa el reino espiritual. Este radica en la imposibilidad de resolver con absoluta precisión cuál es la relación que existe entre el diámetro de un círculo y la longitud de su perímetro. Es decir, cuántas veces cabe el diámetro en el largo extendido del perímetro de la circunferencia.

Teniendo un círculo de diámetro 1 de modo que su radio intersepte al eje XY en el punto B, hacemos rodar el círculo en el sentido de los punteros del reloj hasta que el punto B del radio haya dado toda la vuelta e intercepte nuevamente el eje XY. De este modo habremos desplegado el perímetro total de la circunferencia. Esto sucede un poco más allá de haber avanzado tres veces el diámetro del círculo(fig. 49). Este largo se ha definido como Phi ? , con un valor de número irracional 3,14159……………



Fig. 49 El círculo y el número Phi

13.5.- PhiØ y la Proporción áurea.

¿Qué es la proporción áurea?
Es la división armónica de una recta en media y extrema razón. Es decir que el segmento menor, es al segmento mayor, como éste es a la totalidad de la recta.

Ya hemos trabajado con patrones estructurados con el círculo femenino y de éstos se han derivado nuevos patrones a los cuales se les ha sobrepuesto la línea recta masculina. En esta oportunidad trabajaremos con la línea recta en forma independiente, con la finalidad de incursionar en el concepto de la proporción, es decir de la relación entre las partes o magnitudes medibles. Esta relación proviene de cierta razón matemática, detrás de la cual se manifiesta la armonía del mundo que nos rodea. En este sentido debemos comprender que nos enfrentamos a una dimensión sensible de la existencia, más allá de un concepto de “perfección” abstracto.

Cuando hablamos de proporción, lo estamos haciendo respecto de dimensiones comparadas, por lo tanto de números. La comparación más básica que podemos hacer es relacionar un todo que dividimos en dos partes, lo cual nos arroja tres entidades: Parte a, parte b y una totalidad c. Esto lo aplicaremos a un segmento o línea recta entre los puntos A y B, que denominaremos tramo c, en el cual ubicaremos un punto C, que a su vez dividirá el tramo c en dos sub tramos a y b. La relación o proporción más evidente es que el punto C esté ubicado justo al medio del tramo AB, con lo cual tendríamos que a = b y logicamente a+b = c (fig. 50).

Las otras posibilidades son que a sea mayor que b, o que b sea mayor que a.



Fig. 50 Tramo dividido en dos

De acuerdo a Fra Luca Paccoli de Borgo, existe una proporción de origen divino en que la relación de las partes es: a es b como c es a a. En otras palabras que el tramo AB sea al tramo AC como el tramo AC es al tramo CB (fig.50). Es decir que el tramo completo sea al subtramo mayor como éste es al menor.

Una variante interesante es que usemos el punto C para “doblar” el segmento AB, como si fuera un vara de plomo y lo juntamos con otra igual, para formar un rectángulo. Uno se pregunta entonces, dónde habrá que doblar para que el rectángulo se vea lo más armónico posible… Si se hace el experimento con muchos sujetos, la mayoría opta por una forma de rectángulo cuya razón largo: ancho estará muy cerca de la razón áurea.

Solo hay un punto C que cumple con esta condición, que se manifiesta como la razón que expresa la igualdad a/b = a+b/a, que es lo mismo que a/b = c/a, o bien a2 = b (a+b). Esta proporción se reduce a un número que multiplicado por el tramo a me dará el tramo a+b que equivale al tramo c, donde ambos cumplen con la proporción o relación referida. Lo mismo si tomamos el tramo c y lo dividimos por el mismo número obtendremos el valor numérico del tramo a.

Este número es el llamado número áureo o número de oro o simplemente número Phi. Número que encontraremos presente en las bellas artes, en la arquitectura, en las plantas, en el cuerpo humano, en los animales y en todo el universo.

Construcción de la proporción áurea y obtención de Phi a partir del cuadrado y del rectángulo áureo.
Vamos a suponer un tramo a entre los puntos A y C como en la fig. 50. Le daremos al tramo a un valor de 2 unidades. A partir de este tramo se construye un cuadrado ACDE de lado a con valor 2. Acontinuación encontramos el punto medio del tramo AC, el cual queda dividido en dos subtramos de 1 unidad. Unimos este punto con el vértice D del cuadrado y con un compás hacemos centro en el mencionado punto medio y arco en D y lo abatimos sobre la prolongacion del tramo AC donde lo corta está el punto B. Ahora tenemos el tramo b entre los puntos C y B que queda en proporción áurea en relación al tramo a. A su vez esto permite construir el rectángulo áureo ABFE (fig. 51).



Fig. 51 Construcción rectángulo áureo a partir del cuadrado
El número Phi se obtiene a partir del triángulo rectángulo GCD. Según Pitágoras el cuadrado de la hipotenusa ( GD) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Es decir ( GD)2 = ( GC)2+( CD)2
Por lo tanto GD2 = 12 + 22 = 5
GD = ?5
El tramo GD, al abatirse sobre la extensión del tramo AC, se iguala al tramo GB. Entonces el tramo AB es igual al GB+AG, por lo tanto igual a?5+1, lo que se debe dividir por 2 para obtener Phi.
PhiØ = (V5+1):2 = 1,6180339……………..

14.- El pentágono y el triángulo áureos.
El pentágono regular da origen al triángulo áureo que es un triángulo isósceles con dos ángulos en la base que miden 72? y el ángulo opuesto 36?. A su vez, si la base del triángulo mide 1, sus otros dos lados están en proporción áurea y miden 1,6180339….. (fig. 52)



Fig. 52 Triángulo áureo



Fig. 53 Trazos en proporción áurea en la estrella de cinco puntas.

Luego el pentágono da origen a la estrella de cinco puntas, la que es considerada una figura de gran contenido simbólico. Con una punta hacia arriba se considera una protección contra el mal y al contrario, cuando se ubica con dos puntas hacia arriba, un signo del mal, considerado como la supremacía de la materia sobre el espíritu. Además todos sus trazos se encuentran en la proporción áurea. Esto se ve en las relaciones de los trazos A, B, C y D (fig. 53)

En seguida podemos observar la existencia de tres tamaños de triángulos áureos insertos en la estrella de cinco puntas que se inscribe en el pentágono áureo. Cada uno mantiene la misma relación áurea entre la base del triángulo y cada uno de sus otros dos lados (fig. 54).



Fig. 54 Tres tamaños de triángulos inscritos en el pentágono áureo.

15.- La serie Fibonacci y la proporción áurea.
Para comprender la serie Fibonacci debemos primero definir lo que se entiende por una serie numérica. Esto no es otra cosa que una sucesión progresiva de números que sigue un patrón definido en su evolución. Por ejemplo la sucesión de números naturales, de números pares, de números impares, de números primos, etc.

No está muy claro cuál es el patrón de los primos: en realidad parece aleatorio, y la sucesión de los primos contiene secuencias aritméticas arbitrariamente largas… (teoremas recientes de Terence Mao, “premio Nobel” en matemáticas, año 2006)

En el caso de la serie Fibonacci, se trata de una sucesión infinita de números naturales que parten de 0 y luego el1, para continuar con la suma de los dos anteriores. Por lo tanto0+1=1, en seguida se suman los dos últimos, es decir1+1=2, para seguir con1+2=3, a continuación2+3=5, luego 3+5=8 y así hasta el infinito.

Si bien esta serie numérica primero fue descubierta por matemáticos de la India como Gopala alrededor del año 1135 y luego Hemachandra en 1150, que investigaron los patrones rítmicos que se formaban con notas o sílabas, su real dimensión nos ha llegado, en occidente, desde que fuera descrita y explicada por Leonardo de Pisa, también llamado Leonardo Fibonacci, un matemático italiano del siglo XIII.

Leonardo de Pisa la describió con el fin de resolver un problema que planteaba la cría de conejos, tratando de encontrar el patrón rítmico de nacimiento de éstos.

Más adelante fue descrita también por el matemático alemán Johannes Kepler en el siglo XVI. Y luego el matemático escocés Robert Simpson en 1753 descubrió la relación de dos números sucesivos de la serie Fibonacci con la proporción áurea, detectando que mientras más progresan éstos, más se aproxima su cociente al número de oro o divina proporción (fig.55).



Fig. 55 Serie Fibonacci y la razón áurea
En la fig. 49 tomamos el número inicial 0+1 = al número siguiente que en este caso es 1 y al sumar el 1 inicial con el 1 siguiente tenemos2, al sumar ambos tenemos3, luego al sumar estos dos números, llegamos a5, enseguida a8, después a 13 y así sucesivamente hasta el infinito.

A continuación, si dividimos el número siguiente por el número inicial de cada línea de la serie de la fig. 49 partimos con1,0, luego 2,0 y así sucesivamente. Como los resultados de estas divisiones nos dan un número con infinitos decimales, por razones prácticas los limitaremos a siete decimales, y así encontramos que los resultados se van aproximando paulatinamente al número que hemos descrito como número áureo con siete decimales Phi Ø = 1,6180339, lo que se logra cuando se llega a la división6765 : 4181. De ahí en adelante las divisiones que siguen tendrán siempre los mismos primeros 7 decimales hasta el infinito. Si hacemos lo mismo con tres decimales, este número PhiØ = 1,618, se estabiliza a partir de la división233 : 144.

En realidad, para cualquier número de decimales que nos demos de antemano, se observa que la sucesión de los cocientes llega a coincidir en esos decimales con el número Phi.

Ahora bien, si hacemos las divisiones a la inversa, es decir el número inicial dividido por el siguiente, es decir si en lugar de dividir10946 : 6765 = 1,6180338, dividimos6765 : 10946 = 0,6180339. Esto es la proporción áurea a la inversa, es decir si el tramo mayor mide 1 unidad, el tramo áureo menor medirá0,6180339.

Esta serie numérica la podemos encontrar en numerosas manifestaciones de la naturaleza:
• La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
• La relación entre la distancia entre las espirales del interior espiralado de cualquier caracol (no sólo del nautilus)
• La relación entre los lados de una estrella de cinco puntas o estrella de David.
• La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
• La distancia entre las espirales de una piña.
• La relación con el cociente entre el número de espirales horarias y antihorarias de una flor de girasol o maravilla.
• Las relaciones entre muchas partes corporales de los humanos y los animales:
• La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
• La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
• La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
• La relación entre las divisiones vertebrales.
• La relación entre las articulaciones de las manos y los pies.
Otro tanto ocurre con una gran cantidad de creaciones artísticas:
• Relaciones arquitectónicas en las Pirámides de Egipto.
• La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).
• En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
• El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.
• Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitrubio y en otras obras de Leonardo da Vinci.*
• En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Débussy (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente).
• Autores como Bártok, Messiaen, Stockhausen compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con el número áureo.
•
16.- La espiral áurea y la espiral Fibonacci.
La espiral es una de las figuras geométricas con mayor carga simbólica que se expresa en la geometría sagrada. Para comenzar estamos viviendo en una espiral, la galaxia. Esta figura que en teoría no tiene ni principio ni fin está presente en todo nuestro entorno natural, cultural y espiritual. Nuestro oído, con el que escuchamos, se desarrolla en forma de espiral, y también lo encontramos en los conos de los pinos, en algunos cuernos animales, en variadas plantas, en las conchas marinas, en el flujo natural del agua que se escurre por un desagüe, en el flujo de aire de los tornados y huracanes, simbolizando los ciclos de evolución de numerosos procesos, etc. Cada vuelta de la espiral representa un ciclo de evolución, ofreciendo una perspectiva cada vez más amplia e inclusiva. Si imaginamos la evolución como un patrón curvo, la espiral implica el concepto de crecimiento de esta evolución. En caso contrario si la curva vuelve al comienzo, nos encontramos atrapados en un proceso regresivo e involutivo.

Para los propósitos de configurar el tema de la geometría sagrada, distinguiremos dos tipos de espirales. Por un lado la espiral logarítmica (fig. 56), que es la que encontramos frecuentemente en la naturaleza y que se caracteriza por que sus brazos se incrementan en progresión geométrica. Luego está la espiral de Arquímedes (fig. 57), cuyos brazos lo hacen con distancias constantes.



Fig. 56 Espiral logarítmica



Fig. 57 Espiral de Arquímedes

Nos centraremos en la espiral logarítmica, cuya construcción se logra a partir del rectángulo áureo, cuyo lado menor es 1 y el mayor es 1,6180339 (fig. 58). Otra manera de hacerlo es a partir de la serie numérica Fibonacci aplicada a la diagonal de un cuadrado de lado 1 que crece en la secuencia de la serie Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13………. (fig. 59).



Fig. 58 Espiral áurea




Fig. 59 Espiral Fibonacci.
Ambas espirales, si bien al partir tienen un patrón de desarrollo diferente, a medida que van gradualmente creciendo y alejándose de su centro, comienza a desaparecer la diferencia y se igualan cada vez más. Es decir ocurre algo equivalente a lo que ocurre cuando crece la serie Fibonacci, aproximándose cada vez más al número áureo.

Por otro lado las espirales se dividen en femeninas y masculinas, lo que dice relación con los dos tipos de energías que las construyen. La espiral masculina se expresa a través de las diagonales de los cuadrados que van girando en 90°. Esto ocurre tanto en los cuadrados que dan origen al rectángulo áureo para la espiral áurea (fig.60), como en la trama de cuadrados que dan origen a la espiral Fibonacci (fig. 61).




Fig. 60 Espiral áurea masculina



Fig. 61 Espiral Fibonacci masculina

La espiral femenina se va construyendo con el arco que queda conformado entre los trazos de estas diagonales y los círculos cuyos radios son el lado de los cuadrados que definen dichas diagonales. (figs. 62 y 63).



Fig. 62 Espiral áureo femenina



Fig. 63 Espiral Fibonacci femenina

Uno de las manifestaciones más características y evidentes de la espiral áurea es la concha del nautilus (fig. 64).



Fig. 64 Nautilus y la espiral áurea

17.- La espiral, el triángulo y el pentágono áureos.
Otra manera de trazar la espiral áurea es a partir del triángulo áureo, con dos ángulos de 72°en la base y uno de 36°en el extremo opuesto que se genera en el pentágono regular. Utilizando líneas paralelas del trazado de dicho triángulo y del pentágono en el cual se inscribe (fig. 65), se logra construir un secuencia de triángulos áureos que permiten trazar los círculos con centros en los puntos A, B, C y D, y cuyos arcos conforman esta nueva espiral áurea (fig 66).



Fig. 65 Trazado para construir sobre triángulos áureos



Fig. 66 Espiral triángulos áureos

18.- Consideraciones finales.
• A pesar de la extensión de este texto, hay que aclarar que cada uno de los temas que se han tocado son solamente el inicio. Se pueden profundizar y desarrollar mucho más allá de lo expuesto aquí.

• Lo sagrado puede considerarse como aquello que conecta al fenómeno individual con la creación toda y con su origen. En el caso de la geometría sagrada, se trata de un sistema simbólico específico que nos evidencia un universo (universo: una sola voz) construido con patrones semejantes desde lo más inmenso hasta lo más pequeño, desde lo global hasta lo más íntimo o personal, en una relación de completa correspondencia que nos llama a la reflexión.

• La Geometría es sagrada cuando expresa no sólo relaciones o proporciones físicas o abstractas, sino cuando expresa valores eternos referidos a la belleza, la verdad, o la incidencia de la luz sobre las formas (consciencia), en su danza de radio y arco.

• Es importante comprender que todos estos temas no sólo deben comprenderse e incrementar la información que tiene nuestro disco duro, sino que debe alcanzar la dimensión de un trabajo práctico. Es decir que partiendo de la información expuesta, se puede comenzar por armarse de un compás, una escuadra, lápiz y papel, e iniciar nuestra propia investigación que nos llevará a transitar por caminos insospechados.

• Todo lo que ha sido expuesto puede y debiera imaginarse en tres dimensiones, lo que lo potencia aún más el significado esencial de lo que hasta ahora se ha visto.

• La profundización de esta práctica en cuanto a trabajo de dibujo tiene el potencial de aproximarse a lo que es un proceso de meditación. Un buen ejemplo es el dibujo de los mandalas (fig. 67), que en algunas circunstancias y con una práctica apropiada son un buen medio de introspección e incluso de sanación, al ser instrumentos de re-ligazón entre lo general y lo particular.




Semilla de la vida...Tercer día del Génesis...Vesica Piscis




Flor de la vida...Cubo metatrón...Laberinto de Chartres




Rueda del desierto...Escudo amarillo...Montaña Sagrada

Fig. 67 Mandalas del artista Charles Gilchrist



Arquitecto y Pintor
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www.duval.cl


19.- Bibliografía de referencia:
• “Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes”.- Matila C. Ghyka. Ed. Poseidon. 1977
• “El número de oro” I y II.- Matila C. Ghyka. Ed. Poseidon. 1968
• “La Divina Proporción.- Luca Pacioli. Ed. Akal S.A. 1991.
• “Geometría Sagrada, Descifrando el código”.- Stephen Skinner. Ed. Gaia. 2007
• “Sacred Geometry”.- Miranda Lundy. Ed. Walker & Compny, New York. 1998
• “El antiguo secreto de la Flor de la Vida”.- Vol. 1 y 2, Drunvalo Melchizedek. Ed. Teohua, Mexico
• www.bibliotecapleyades.net/geometria-sagrada
• www.charlesgilchrist.com
• www.georgehart.com